题目内容
已知数列A：a1，a2，a3，…，an（0≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是： ．（写出所有正确答案的序号）
①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；
②a1=0；
③2（a1+a2+a3+…+an）=nan；
④当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；
②a1=0；
③2（a1+a2+a3+…+an）=nan；
④当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
考点：命题的真假判断与应用
专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法
分析：根据数列：a1，a2，…an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i＜j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证即可．
解答：
解：对于①因为1+3=4，3-1=2，都不是数列A中的项，故命题①错误；
对于②，考查该数列中的最大项an，显然an+an=2an不是数列中的项，则必有an-an=0属于该数列，故0∈A，且a1=0，故②正确；
对于③若数列A具有该性质P，设an是最大项，则具有性质ai+an(1＜i≤n，i∈N*)，不在A中，则an-ai是数列A中的项，则依题意：an-an＜an-an-1＜an-an-2＜…＜an-a2＜an-a1，则由给的数列A的性质可知；an-an=a1，an-an-1=a2，an-an-2=a3，…an-a2=an-1，an-a1=an，将前面n个式子相加得：nan-（a1+a2+a3+…an-1+an）=a1+a2+a3+…+an-1+an，故nan=2（a1+a2+a3+…an-1+an），故③正确；
对于④，当n=5时，因为a1=0，a2-a1=a2，且
⇒
⇒2a3=a4+a2⇒2a3=a4+a2，而a4+a3＞2a3=a5不是数列A中的项，则a4-a3是数列A中的项，
所以a1＜a4-a3＜a5-a3=a3，所以a4-a3=a2，所以a2-a1=a3-a2=a4-a5=a5-a4，故④成立．
故答案为：②③④
对于②，考查该数列中的最大项an，显然an+an=2an不是数列中的项，则必有an-an=0属于该数列，故0∈A，且a1=0，故②正确；
对于③若数列A具有该性质P，设an是最大项，则具有性质ai+an(1＜i≤n，i∈N*)，不在A中，则an-ai是数列A中的项，则依题意：an-an＜an-an-1＜an-an-2＜…＜an-a2＜an-a1，则由给的数列A的性质可知；an-an=a1，an-an-1=a2，an-an-2=a3，…an-a2=an-1，an-a1=an，将前面n个式子相加得：nan-（a1+a2+a3+…an-1+an）=a1+a2+a3+…+an-1+an，故nan=2（a1+a2+a3+…an-1+an），故③正确；
对于④，当n=5时，因为a1=0，a2-a1=a2，且
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所以a1＜a4-a3＜a5-a3=a3，所以a4-a3=a2，所以a2-a1=a3-a2=a4-a5=a5-a4，故④成立．
故答案为：②③④
点评：本题属于创新题，要准确理解A的性质，抓住特殊项，结合性质去推理，才能较好地解决此题．
练习册系列答案
七彩题卡口算应用一点通系列答案
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如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E，F分别是BC，PB，CA的中点．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（ ）
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
不等式（x-1）
≥0的解集是（ ）
| x+3 |
| A、{x|x＞1} |
| B、{x|x≥1或x=-3} |
| C、{x|x≥1} |
| D、{x|x≥-3且x≠1} |