Question

P为圆A：（x+1）²+y²=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．
（I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=

2 2

3

时，求点M的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2

2

，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2

2

为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=

2 2

3

时，求出P的坐标，可得直线AP方程，代入椭圆方程，消去y，可得5x²+2x-7=0，即可求点M的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）圆A的圆心为A（-1，0），半径等于2

2

．
由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2

2

，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2

2

为长轴长的椭圆，a=

2

，c=1，b=1，
曲线Γ的方程为

x2

2

+y²=1．…（5分）
（Ⅱ）由点P在第一象限，cos∠BAP=

2 2

3

，|AP|=2

2

，得P（

5

3

，

2 2

3

）．…（8分）
于是直线AP方程为y=

2

4

（x+1）．
代入椭圆方程，消去y，可得5x²+2x-7=0，
所以x₁=1，x₂=-

7

5

．
由于点M在线段AP上，所以点M坐标为（1，

2

2

）．…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．