题目内容

已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
1
2
，左准线方程为x=-4．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）已知过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上一点（x0，y0）作椭圆的切线，切线方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．现过椭圆M的右焦点作斜率不为0的直线l于椭圆交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线l1，l2．
①证明：l1，l2的交点P在一条定直线上；
②求△ABP面积的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
1
2
，左准线方程为x=-4，建立方程组，求出几何量，即可求出椭圆M的标准方程；
（2）①设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则两切线方程为
x1x
4
+
y1y
3
=1，
x2x
4
+
y2y
3
=1，可得交点P的纵坐标，进而求出P的横坐标，即可得出结论；
②直线AB：x=my+1，代入
x2
4
+
y2
3
=1，利用韦达定理，求出弦长|AB|，求出P（4，-3m）到直线AB的距离，可得△ABP面积，换元，即可求出△ABP面积的最小值．
解答： （1）解：∵椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
1
2
，左准线方程为x=-4，
∴
c
a
=
1
2
a2
c
=4
，∴a=2，c=1，
∴b=
a2-c2
=
3
，
∴椭圆M的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）①证明：设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
则两切线方程为
x1x
4
+
y1y
3
=1，
x2x
4
+
y2y
3
=1，
可得交点P的纵坐标为y=
3(x2-x1)
x2y1-x1y2
=
3(my2-my1)
(my2+1)y1-(my1+1)y2
=-3m，
上式作差可得
mx
4
+
y
3
=0，
y=-3m代入，可得x=-4，
∴l1，l2的交点P在一条定直线x=-4上；
②解：P（4，-3m）到直线AB的距离d=
|-3m2-4+1|
1+m2
，
直线AB：x=my+1，代入
x2
4
+
y2
3
=1，可得（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=-
6m
3m2+4
，y1y2=
9
3m2+4
，
∴|AB|=
1+m2
•|y1-y2|=
12(m2+1)
3m2+4

∴△ABP面积为S=
1
2
|AB|d=
18(
m2+1
)3
3(m2+1)+1
，
设t=
m2+1
≥1，则S=
18t3
3t2+1
=
18
3
t
+
1
t3
，
令u=
1
t
∈（0，1]，则S=
18
3u+u3
，在u∈（0，1]上单调递减，
∴当u=1，则t=1，即m=0时，△ABP面积的最小值为
9
2
．
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，难度大．
练习册系列答案
相关题目
某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
 
．
在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（　　）
A、
19
B、
13
C、3
D、
7
P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．
（I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=
2
2
3
时，求点M的坐标．
如图，四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG
（2）若F是线段AB的中点，求三棱锥B-EFC的体积．
设集合M={f(x)|x∈(0，+∞)，f(x)=f(
1
x
)}．
（1）已知函数f(x)=
x
1+x2
(x＞0)，求证：f（x）∈M；
（2）对于（1）中的函数f（x），求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得g(x+
1
x
)=f(x)对任意x＞0成立．
（3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g(x+
1
x
)=f(x)对任意x＞0成立．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形，E是A1B的中点，F是棱CC1上的点．
（Ⅰ）当VE-ABF=
3
3
时，求正方形AA1C1C的边长；
（Ⅱ）当A1F+FB最小时，求证：AE⊥平面A1FB．
已知二项式（
3x
-
1
x
）n的展开式中的第三项为常数项，则n=
 
．
已知
AB
和
AC
是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2
AB
-
AC
与
CA
的夹角是（　　）
A、30°B、60°
C、90°D、120°

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