题目内容
已知方程
=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（ ）
| |sinx| |
| x |
| A、sinα=αcosβ |
| B、sinα=-αcosβ |
| C、cosα=βsinβ |
| D、sinβ=-βsinα |
考点：函数的图象与图象变化
专题：数形结合,转化思想,函数的性质及应用
分析：方程
=k有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可．
| |sinx| |
| x |
解答：
解：∵
=kx有两个根，∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，如图（1）
图1
函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y-sinβ=f′（β）（x-β），将x=0，y=0代入方程，得sinβ=-βcosβ，
∴
=-cosβ，
∵O，A B三点共线，
∴
=
，
∴
=-cosβ，
∴sinα=-αcosβ．
故选：B．
| |sinx| |
| x |
图1
函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y-sinβ=f′（β）（x-β），将x=0，y=0代入方程，得sinβ=-βcosβ，
∴
| sinβ |
| β |
∵O，A B三点共线，
∴
| -sinα |
| α |
| -sinβ |
| β |
∴
| sinα |
| α |
∴sinα=-αcosβ．
故选：B．
点评：本题借助图象考查了方程的根，函数的零点，以及导数的知识．把方程转化为函数的交点，数形结合是解题关键．
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A、-
| ||||
B、-
| ||||
C、-
| ||||
| D、-1 |
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| B、若α⊥β，l⊥β，则l∥α |
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| A、7 | B、8 | C、15 | D、24 |
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A、
| ||
B、
| ||
| C、3 | ||
D、
|