Question

定义函数fk(x)=

alnx

xk

为f（x）的k阶函数．
（1）求一阶函数f₁（x）的单调区间；
（2）讨论方程f₂（x）=1的解的个数；
（3）求证：3lnn!≤1+2³e+3³e²+…+n³e^n-1（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，f′1(x)=

a-alnx

x2

=

a(1-lnx)

x2

(x＞0)，分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论，解不等式f₁′（x）＞0，f′₁（x）＜0可得函数的增减区间；
（2）方程f₂（x）=1，即

alnx

x2

=1，易知当a=0时，方程无解．a≠0时，方程化为

lnx

x2

=

1

a

．令g(x)=

lnx

x2

(x＞0)．利用导数可判断g（x）的单调性及其最值情况，借助图象可得

1

a

的范围，进而可得a的范围；
（3）当a=1时，由f3(x)=

lnx

x3

(x＞0)，利用导数可求得f3(x)max=f3(e

1

3

)=

1

3e

．从而有f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即3lnx≤

x3

e

．再又x＞0时，e^x＞1，得3lnx≤x³e^x-1．根据该不等式令x=1，2，3，…，n，可得结论；

解答： 解：（1）f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，f′1(x)=

a-alnx

x2

=

a(1-lnx)

x2

(x＞0)，
令f′₁（x）=0，当a≠0时，x=e．
∴当a=0时，f₁（x）无单调区间；
当a＞0时，由f₁′（x）＞0，得0＜x＜e，由f₁′（x）＜0，得x＞e，
∴f₁（x）的单增区间为（0，e），单减区间为（e，+∞）；
当a＜0时，由f₁′（x）＞0，得x＞e，由f₁′（x）＜0，得0＜x＜e，
∴f₁（x）的单增区间为（e，+∞），单减区间为（0，e）．
（2）方程f₂（x）=1，即

alnx

x2

=1，当a=0时，方程无解．
当a≠0时，

lnx

x2

=

1

a

．令g(x)=

lnx

x2

(x＞0)．则g′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

．
由g′（x）=0得x=

e

，从而g（x）在(0，

e

)单调递增，在(

e

，+∞)单调递减.g(x)max=g(

e

)=

1

2e

．
当x→0时，g（x）→-∞，当x→+∞g（x）→0．
∴当0＜

1

a

＜

1

2e

，即a＞2e时，方程有两个不同解．
当

1

a

＞

1

2e

，即0＜a＜2e时，方程有0个解．
当

1

a

=

1

2e

，或

1

a

＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．
综上，当a＞2e时，方程有两个不同解．当0＜a＜2e时，方程有0个解．当a=2e或a＜0时，方程有唯一解．
（3）特别地：当a=1时，由f3(x)=

lnx

x3

(x＞0)，得f′3(x)=

x2-3x2lnx

x6

=

1-3lnx

x4

．
由f′₃（x）=0，得x=e

1

3

，
则f₃（x）在(0，e

1

3

)单调递增，在(e

1

3

，+∞)单调递减.f3(x)max=f3(e

1

3

)=

1

3e

．
∴f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即3lnx≤

x3

e

．
又x＞0时，e^x＞1．∴3lnx≤x³e^x-1．
令x=1，2，3，…，n，
则3lnn!=3ln1+3ln2+3ln3+…+3lnn≤1+2³e+3²e²+…+n³e^n-1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、方程的解、证明不等式，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题能力，根据函数最值灵活构造不等式是解决（3）问的关键所在，注意总结．