Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（1，1）分别作斜率为k₁、k₂的椭圆的动弦AB、CD，设M、N分别为线段AB、CD的中点，若k₁+k₂=1，是否存在一个定点Q，使得其在直线MN上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点（0，$\sqrt{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由题意得k₁≠k₂，设M（x_M，y_M），直线AB的方程为y=k₁x+k₂，代入椭圆方程，得：（2+3${{k}_{1}}^{2}$）x²+6k₁k₂x+3${{k}_{2}}^{2}$-6=0，求出M点坐标，同理求出N点坐标，由此求出直线MN的方程为y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，直线过定点（0，-$\frac{2}{3}$），当k₁k₂=0时，直线MN即为y轴，此时也过点（0，-$\frac{2}{3}$）．从而得到直线MN恒过定点，且定点坐标为（0，-$\frac{2}{3}$）．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由题意得k₁≠k₂，设M（x_M，y_M），直线AB的方程为y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入椭圆方程并化简，得：（2+3${{k}_{1}}^{2}$）x²+6k₁k₂x+3${{k}_{2}}^{2}$-6=0，
∴${x}_{M}=\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$，${y}_{M}=\frac{2{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$，
同理，${x}_{N}=\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$，${y}_{N}=\frac{2{k}_{1}}{2+3{{k}_{2}}^{2}}$，
直线MN的方程为y-$\frac{2{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$（x-$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$），
即y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，
此时直线过定点（0，-$\frac{2}{3}$），
当k₁k₂=0时，直线MN即为y轴，此时也过点（0，-$\frac{2}{3}$）．
综上，直线MN恒过定点，且定点坐标为（0，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．