题目内容

3．在直角坐标系xOy 中，已知圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}\right.$（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线l的极坐方程是$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}$，射线OM：θ=$\frac{π}{3}$与圆的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

分析 （1）圆C的参数方程消去参数能求出圆的极坐标方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简能求出此圆的极坐标方程．
（II）求出直线l：y+$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$，射线OM：y=$\sqrt{3}$x．联立$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}x=3\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得Q（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），由此能求出线段PQ的长．

解答 解：（1）圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}\right.$（φ为参数）．
消去参数可得：（x-1）2+y2=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得此圆的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
（II）如图所示，直线l的极坐方程是$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}$，
射线OM：θ=$\frac{π}{3}$．
可得普通方程：直线l：y+$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$，射线OM：y=$\sqrt{3}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}x=3\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即Q（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=2．
∴线段PQ的长为2．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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