Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆C的上方于点A，且|OA|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，其中，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求椭圆C上过点A的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆C的上方于点A，且|OA|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能出椭圆C的方程．
（Ⅱ）求出A（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），对椭圆方程求导得$\frac{2}{3}x+2y{y}^{'}=0$，利用导数的几何意义能求出椭圆C上过点A的切线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
∵过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆C的上方于点A，且|OA|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴${c}^{2}+（\frac{{b}^{2}}{a}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{2}$，②
又a²=b²+c²，③
联立①②③，解得：a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）A（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\frac{2}{3}x+2y{y}^{'}=0$，
把A（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入，得：y′=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴椭圆C上过点A的切线方程为：
y-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$（x+$\sqrt{2}$），即$\sqrt{2}x-\sqrt{3}y$+3=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上过点A的切线方程的求法，考查椭圆、直线方程、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．