Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若异面直线AB与PC所成角为60°，求PA的长；
（3）在（2）的条件下，求平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而QB⊥AD，进而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA的长．
（3）分别求出平面PQB的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
解：（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PQ=a，则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，a），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（1，-$\sqrt{3}$，a），
设异面直线AB与CD所成角为θ，
∵异面直线AB与PC所成角为60°，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CP}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{1}{2}$，解得PQ=a=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△PQA中，PA=$\sqrt{P{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{12+1}$=$\sqrt{13}$．
（3）平面PQB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
D（-1，0，0），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
设平面PDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（ax，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-x-2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，0，-1），
设平面PQB与平面PDC所成锐二面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∴平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．