Question

2．已知三棱锥P-ABC，平面PBC⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，O为它的中心，PB=PC=$\sqrt{2}$，D为PC的中点．
（1）若边PA上是否存在一点E，使得AC⊥平面BOE，若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角P-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）存在E为AP的三等分点且AE=2EP，根据线面垂直的判定定理即可证明CF⊥平面B₁DF；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角P-BD-O的余弦值．

解答 解：（1）存在E为AP的三等分点且AE=2EP，
∵，△ABC是边长为2的等边三角形，O为它的中心，
∴BO⊥AC，
连接AO延长BC与F，连接PF，
F为BC的中点，AO=2OF，
∵PB=PC，∴PF⊥BC，
∵面PBC⊥平面ABC，
∴PF⊥平面ABC，即PF⊥AC，
在边AP上取点E，使AE=2EP，则$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OF}$，
∴EO∥PF，EO⊥AC，
∵EO∩BO=O，
∴AC⊥平面BOE，
∴存在E为AP的三等分点且AE=2EP．
（2）取BC的中点F，连接PF，
∵PB=PC，∴PF⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABC，∴PF⊥平面ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴FA，FB，FP两两垂直，
建立以F为坐标原点，FA，FB，FC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

∵正三角形ABC的边长为2，PB=PC=$\sqrt{2}$，
∴PF=1，
则P（0，0，1），C（0，-1，0），D（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），O（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（0，1，0），
则$\overrightarrow{BO}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
设平面DOB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=-$\frac{3}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0．
令y=1，则x=$\sqrt{3}$，z=3，
则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，3），
由题意得平面PBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∵二面角P-BD-O为钝二面角，
∴二面角P-BD-O的余弦值为-$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解，利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．