Question

若数列{a_n}是公比为2的等比数列，且a₁＞0，数列{b_n}是公差为2的等差数列，且log_xa_n-b_n=log_xa₁-b₁，求x．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：先将两个数列的通项公式写出来，再将log_xa_n-b_n=log_xa₁-b₁进行移项变形为

an

a1

=xbn-b1，再将已知条件代入化简后即可求出x．

解答： 解：因为{a_n}是公比为2的等比数列，且a₁＞0，数列{b_n}是公差为2的等差数列，
所以an=a1•2n-1，b_n=b₁+2（n-1），
log_xa_n-b_n=log_xa₁-b₁可化为：
log_xa_n-log_xa₁=b_n-b₁，即logx

an

a1

=2(n-1)，
即logx

an

a1

=logx2n-1=2(n-1)，
则x^2（n-1）=2^n-1，所以x²=2，所以x=

2

或x=-

2

（舍去），
故x的值为

2

．

点评：本题考查了等差等比数列的通项公式和对数运算的问题，关键是将给的等式恰当的变形，化简构造出关于x的方程．