Question

已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为f（x）．不过A点的动直线y=

1

2

x+m交椭圆O于P，Q两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明P，Q两点的横坐标的平方和为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的性质，数形结合得出得a=2，e=

3

2

，进而可求得方程；
（2）联立方程组，消去y，利用根与系数的关系即可解得结论．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意得a=2，e=

3

2

．
∴c=

3

，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：设点P(

x

1

，y1)，Q(

x

2

，y2)
将y=

1

2

x+m带入椭圆，化简得：x²+2mx+2（m²-1）=0
∴x1+x2=-2m，x1x2=2(m2-1)，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=4，
∴P，Q两点的横坐标的平方和为定值4．

点评：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系等知识，考查学生的运算求解能力．