Question

设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：因为x＞y，所以x-y＞0，所以不等式左边减去2y得：2x+

1

(x-y)2

-2y=（x-y）+（x-y）+

1

(x-y)2

≥3

3	(x-y)(x-y) 1 (x-y)2

=3，这样便可证出本题．

解答： 证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；
∵2x+

1

x2-2xy+y2

-2y=2（x-y）+

1

(x-y)2

=（x-y）+（x-y）+

1

(x-y)2

；
又（x-y）+（x-y）+

1

(x-y)2

≥3

3	(x-y)2 1 (x-y)2

=3，当x-y=1时取“=“；
∴2x+

1

x2-2xy+y2

-2y≥3，即2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．

点评：考查对于不等式：a+b+c≥

3	abc

，a，b，c＞0的运用．