题目内容
在平面直角坐标系xoy中，双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8，一条渐近线的倾斜角为arctan
，设p为双曲线上一点，过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点M，求三角形OPM的面积S．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 4 |
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由已知条件推导出双曲线方程是
-
=1，设P坐标（x0，y0），解得M（2（
+
），
(
+
)），P到OM距离=
，由此能求出三角形OPM的面积．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
| 3 |
| |3x0-4y0| |
| 5 |
解答：
解：∵双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8，
∴2a=8，a=4，
∵渐近线倾斜角为arctan
，∴渐近线斜率k=
，
∵x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±
x，
∴
=
，∴b=3，
∴双曲线方程是
-
=1，
设P坐标（x0，y0），
MP：y=-
（x-x0）+y0，与y=
x联立，解得M（2（
+
），
(
+
)）
P到OM距离=
，
∴△OPM的面积S=
•
•
=
•
•
•|
+
|
=
|(3x0-4y0)(
+
)|
=
•12•|
-
|
=3．
∴三角形OPM的面积S等于3．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴2a=8，a=4，
∵渐近线倾斜角为arctan
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±
| b |
| a |
∴
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
∴双曲线方程是
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
设P坐标（x0，y0），
MP：y=-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
| 3 |
P到OM距离=
| |3x0-4y0| |
| 5 |
∴△OPM的面积S=
| 1 |
| 2 |
| |3x0-4y0| |
| 5 |
4(
|
=
| 1 |
| 2 |
| |3x0-4y0| |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
| 3 |
=
| 1 |
| 4 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
| 3 |
=
| 1 |
| 4 |
| x02 |
| 16 |
| y02 |
| 9 |
=3．
∴三角形OPM的面积S等于3．
点评：本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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