题目内容
11．设F1，F2分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，椭圆C上一点$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，过左焦点垂直x轴与椭圆相交所得弦长为2．（1）求椭圆C的方程；
（2）过点E（1，0）的直线与该椭圆交于P、Q两点，且|EP|=2|EQ|，求此直线的方程；
（3）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，O是原点，当△OAB面积最大时，求直线l的方程；
（4）若P是椭圆C上任意一点，⊙M是以PF2为直径的圆，求证：⊙M总与定圆x2+y2=a2相切．
分析 （1）由椭圆C上一点$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，过左焦点垂直x轴与椭圆相交所得弦长为2，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，利用韦达定理，结合|EP|=2|EQ|，求出k，即可求此直线的方程；
（3）设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，求出|AB|，点O到直线l的距离，表示出面积，即可求出当△OAB面积最大时，直线l的方程；
（4）证明圆心距等于半径的差即可．
解答 （1）解：由题意$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，
∵椭圆C上一点$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，∴$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=2，b2=2
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$------（3分）
（2）解：设直线方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，
∵|EP|=2|EQ|，
∴2$\sqrt{2}$-xP=2（2$\sqrt{2}$-xQ），
∴2xQ-xP=2$\sqrt{2}$①，
∵xQ+xP=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$②，xQxP=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$③，
由①②③得$k=±\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
∴直线的方程为y=±$\frac{\sqrt{30}}{6}$（x-1）…（7分）
（3）解：设直线l方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$，得3x2+4mx+2m2-4=0
△=16m2-4×3×（2m2-4）＞0，解得$-\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}$，
${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{3}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{3}$，
$|AB|=\sqrt{{{（1+1）}^2}[{{（{x_1}-{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{4}{3}\sqrt{6-{m^2}}$
点O到直线l的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{-{{（{m^2}-3）}^2}+9}$
当m2=3＜6时，S△AOB有最大值$\sqrt{2}$，此时$m=±\sqrt{3}$
∴所求直线l的方程为$y=x±\sqrt{3}$．-----（10分）
（4）证明：设P（x0，y0），∵${F_2}（\sqrt{2}，0）$，∴M点坐标为$（\frac{{{x_0}+\sqrt{2}}}{2}，\frac{y_0}{2}）$
∴圆心距$OM=\sqrt{{{（\frac{{{x_0}+\sqrt{2}}}{2}）}^2}+{{（\frac{y_0}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{\frac{1}{2}{x_0}^2+2\sqrt{2}{x_0}+4}}}{2}=\frac{{{x_0}+2\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}$，
⊙M的半径$M{F_2}=\sqrt{{{（\frac{{{x_0}-\sqrt{2}}}{2}）}^2}+{{（\frac{y_0}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{\frac{1}{2}{x_0}^2-2\sqrt{2}{x_0}+4}}}{2}=\frac{{2\sqrt{2}-{x_0}}}{{2\sqrt{2}}}$$a-M{F_2}=2-\frac{{2\sqrt{2}-{x_0}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+{x_0}}}{{2\sqrt{2}}}=OM$
∴⊙M总与定圆x2+y2=a2相内切．------14
点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
| A． | 3 | B． | 1 | C． | 16或1 | D． | $\frac{16}{3}$或3 |
| A． | {1，3} | B． | {1，2，3} | C． | {1，2，3，4} | D． | {1，3，4} |
| A． | zmax=12，zmin=3 | B． | zmax=12，无最小值 | ||
| C． | 无最大值，zmin=3 | D． | 无最小值也无最大值 |
| A． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$ |