题目内容
1．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）| A． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$ |
分析 正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．
解答 解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=1$，∴a=$\sqrt{3}$
该正三棱锥的体积：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．
点评 本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．
练习册系列答案
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13．已知$sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且cosα＜0，则tanα=（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $-\sqrt{3}$ |
如图，在△AOB中，已知P为线段AB上的一点，且$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$．