Question

6．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：8x+6y+1=0，圆C₁：：x²+y²+8x-2y+13=0，圆C₂：x²+y²+8tx-8y+16t+12=0．
（1）当t=-1时，试判断圆C₁与圆C₂的位置关系，并说明理由；
（2）若圆C₁与圆C₂关于直线l对称，求t的值．

Answer 1

分析 （1）求得两圆的圆心距与半径距离，即可得到结论；
（2）确定圆C₂的圆心与半径即可得到t，两圆C₁与圆C₂关于直线l对称，即圆心关于直线对称，求得t值；

解答 解：（1）t=-1时
圆C₁的圆心C₁（-4，1），半径r₁=2，
圆C₂的圆心C₂（4，4），半径r₂=6，
圆心距|C₁C₂|=$\sqrt{（4-1）^{2}+（4+4）^{2}}$=$\sqrt{73}$＞r₁+r₂=8，
∴两圆相离
（2）圆C₂圆心C₂（-4t，4），半径r₂=$\sqrt{16{t}^{2}-16t+4}$
∵圆C₁与圆C₂关于直线l对称，
又直线l的斜率k=-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{4-1}{-4t+4}=\frac{3}{4}\\ 8×\frac{-4t-4}{2}+6×\frac{4+1}{2}+1=0\\ 16{t}^{2}-16t+4=4\end{array}\right.$得t=0，
即t的值为0

点评 本题考查的知识点是两圆之间的位置关系，点关于直线的对称变换，难度中档．