Question

13．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{n（an+3）}$ （n∈N₊），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列等比中项的性质可知：（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，由d＞0，代入即可求得d=2，根据等差数列通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}+3）}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂项法”即可求得S_n．

解答 解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
整理得：2a₁d=d²．
∵d＞0，
∴d=2．
∵a₁=1．
∴a_n=2n-1 （n∈N₊）．
（2）b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}+3）}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{n+1}$]，
=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴S_n=$\frac{n}{2（n+1）}$．

点评 本题考查等比数列等比中项，等差数列通项公式，考查采用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．