Question

3．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A₁A=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，AC=2，A₁C₁=1，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面A₁AD
（Ⅱ）求二面角A-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面A₁AD．
（Ⅱ）BA⊥平面ACC₁A₁，取$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0）为平面ACC₁A₁的法向量，

解答 证明：（Ⅰ）以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），${C}_{1}（0，1，\sqrt{3}）$，
∵BD：DC=1：2，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$．
∴D（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}，2，0$），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，∴BC⊥AA₁，BC⊥AD，又A₁A∩AD=A，
BC⊥平面A₁AD …．（5分）
解：（Ⅱ）∵BA平面ACC₁A₁，取m=$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0）为平面ACC₁A₁的法向量，
设平面BCC₁B₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（l，m，n），则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}l+2m=0}\\{-m+\sqrt{3}n=0}\end{array}\right.$，l=$\sqrt{2}m$，n=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，取m=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{10}{3}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角A-CC₁-B的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．