Question

8．下列各函数中，最小值为2的是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=$\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}}$
• D． y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{{\sqrt{x-1}}}$

Answer 1

分析 直接利用基本不等式的性质：“一正，二定，三取等”进行判断．

解答 解：对于A：y=x+$\frac{1}{x}$：当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2，（当且仅当x=$\frac{1}{x}$时取等号）；故A错误．
对于B：y=sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2（当且仅当sinx=1时取等号），∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx的值取不到1；故B错误．
对于C：$y=\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t，（t＞2）$，则$y=\frac{{t}^{2}+1}{t}$=$t+\frac{1}{t}≥2$，当且仅当t=1时取等号，而t≥2
∴$y=\frac{{t}^{2}+1}{t}$最小值是$\frac{5}{2}$；故C错误．
对于D：$y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$：定义域x＞1，∵$\sqrt{x-1}＞0$，$\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}≥2$，当且仅当x=2时取等号，
满足题意，最小值为2．故D正确
故选：D．

点评 本题考了基本不等式的性质：“一正，二定，三取等”的运用，灵活解决问题的能力，属于基础题．