Question

已知函数f(x)=

lnx

x-1+a

（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间，
（Ⅱ）若不等式f（x）≥k在区间[

1

e

，e2]上恒成立，其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f(x)=

lnx

x-1+a

（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1，可得f′（1）=

a

a2

=1，即可求实数a的值，利用导数的正负可求函数f（x）的单调区间，
（Ⅱ）确定由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e

，e]上单调增，在[e，e²]上单调减，可得f（x）在区间[

1

e

，e2]上的最小值为f(

1

e

)=-e，根据不等式f（x）≥k在区间[

1

e

，e2]上恒成立，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

lnx

x-1+a

，
∴f′(x)=

(x-1+a)• 1 x -lnx

(x-1+a)2

，
∵函数f(x)=

lnx

x-1+a

（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1，
∴f′（1）=

a

a2

=1，
∴a=1，
∴f（x）=

lnx

x

，定义域为（0，+∞），
由f′（x）=

1-lnx

x2

＞0，可得0＜x＜e；
由f′（x）=

1-lnx

x2

＜0，可得x＞e，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，e），单调减区间为（e，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e

，e]上单调增，在[e，e²]上单调减，
∴f（x）在区间[

1

e

，e2]上的最小值为f(

1

e

)或f（e²），
∵f(

1

e

)=-e或f（e²）=

2

e2

，
∴f(

1

e

)＜f（e²），
∴f（x）在区间[

1

e

，e2]上的最小值为f(

1

e

)=-e
若不等式f（x）≥k在区间[

1

e

，e2]上恒成立，则k≤-e．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查函数的单调性，正确求导数是关键．