Question

已知实数x、y、z满足3^x=4^y=6^z＞1．
（1）求证

2

x

+

1

y

=

2

z

；
（2）试比较3x、4y、6z的大小．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设3^x=4^y=6^z=k，k＞1，则x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，由此能证明

2

x

+

1

y

=

2

z

．
（2）由3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，利用对数运算法则能推导出

3x

4y

=＜1，

4y

6z

＜1，由此能比较3x、4y、6z的大小．

解答： （1）证明：∵实数x、y、z满足3^x=4^y=6^z＞1，
设3^x=4^y=6^z=k，k＞1，
则x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，
∴

2

x

+

1

y

=2log_k3+log_k4=log_k36=2log_k6=

2

z

，
∴

2

x

+

1

y

=

2

z

．
（2）∵x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，k＞1，
∴3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，
∵

3x

4y

=

3logk3

4logk4

=

3logk4

4logk3

=

logk64

logk81

＜1，
∴3x＜4y，
∵

4y

6z

=

4log4k

6log6k

=

4logk6

6logk4

=

logk1296

logk4096

＜1，
∴4y＜6z，
∴3x＜4y＜6z．

点评：本题考查对数的运算法则的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用．