Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：首先对三角函数式进行恒等变换，变换成正弦型函数，进一步求出值域，然后根据函数的恒成立问题求得m的范围．

解答： 解：已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x+1=2sin(2x-

π

3

)+1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2

3

π]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴f(x)min=2×

1

2

+1=2，f（x）_max=2×1+1=3．
∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，∴-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立．
因为f（x）在[

π

4

，

π

2

]上的最小值是2，最大值是3，
∴1＜m＜4．

点评：本题考查的知识点：三角函数式的恒等变换，正弦型函数的性质，根据自变量的范围求三角函数的值域，恒成立问题及相关的运算．