Question

已知f（x）是奇函数，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，当x∈[0，

1

2

]时，f（x）=3^x，当2k+

1

2

＜x＜2k+1（k∈Z）时，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+1）=-

1

f(x)

可得2是f（x）的周期，所以2k+

1

2

＜x＜2k+1时的解析式和

1

2

＜x＜1时f（x）的解析式相同，所以来求

1

2

＜x＜1时f（x）解析式即可．设

1

2

＜x＜1，f（x）=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

31-x

=3x-1，所以2k+

1

2

＜x＜2k+1（k∈Z）时，f（x）=3^x-1．

解答： 解：由f(x+1)=-

1

f(x)

得：f（x+2）=-

1

f(x+1)

=f(x)；
∴2是函数f（x）的周期；
设-

1

2

＜x＜0，f(x)=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

，0＜1-x＜

1

2

，∴f(x)=

1

31-x

=3^x-1；
当2k+

1

2

＜x＜2k+1（k∈Z）时，

1

2

＜x-2k＜1，f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．

点评：考查周期函数的概念，奇函数的概念，以及求函数解析式．