Question

5．当正数a，b，满足$\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}=6$时，则4a+7b的最小值$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：4a+7b=$\frac{1}{6}$（4a+7b）×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$）=$\frac{1}{6}$[（a+5b）+（3a+2b）]×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$），利用基本不等式的性质，即可求得4a+7b的最小值．

解答 解：由$\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}=6$，则4a+7b=$\frac{1}{6}$（4a+7b）×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$），
=$\frac{1}{6}$[（a+5b）+（3a+2b）]×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$），
=$\frac{1}{6}$（4+1+$\frac{a+5b}{3a+2b}$+$\frac{4（3a+2b）}{a+5b}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{a+5b}{3a+2b}×\frac{4（3a+2b）}{a+5b}}$）=$\frac{3}{2}$，
当且仅当$\frac{a+5b}{3a+2b}$=$\frac{4（3a+2b）}{a+5b}$，则a=$\frac{1}{26}$，b=$\frac{5}{26}$时取等号，
∴4a+7b的最小值$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于基础题．