Question

已知在非直角三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，R为三角形ABC的外接圆半径，sin（A-C）-cos（B+

π

2

）=2sin2C，2log_Rb=log_Ra+log_Rc
（1）求内角B的余弦值
（2）若b=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,对数的运算性质

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由sin（A-C）-cos（B+

π

2

）=2sin2C及正弦定理化简可得a=2c，又由对数的运算性质b²=ac，从而由余弦定理可求得cosB的值．
（2）由（1）可求得sinB的值，可求得c=

b2 2

的值，从而可求a，从而由三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）∵sin（A-C）-cos（B+

π

2

）=2sin2C，
⇒sin（A-C）+sin（A+C）=2sin2C
⇒2sinAcosC=4sinCcosC（△ABC为非直角三角形）
⇒2sinA=4sinC
⇒a=2c（正弦定理），
又∵2log_Rb=log_Ra+log_Rc⇒b²=ac．
∴由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3c2

4c2

=

3

4

．
（2）∵由（1）可得：sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
∵由（1）可得：a=2c，b²=ac，故：c=

b2 2

=

6

2

，a=

6

∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

6

×

6

2

×

7

4

=

3 7

8

．

点评：本题主要考查了对数的运算性质，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练运用相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．