Question

已知函数f（x）=（

1

2

）^x，g（x）=log

1

2

x，记函数h（x）=

g(x)，f(x)≤g(x) f(x)，f(x)＞g(x)

，则函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：运用函数f（x）=（

1

2

）^x与g（x）=log

1

2

x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5-x的交点，结合图求解即可．

解答： 解：∵函数f（x）=（

1

2

）^x，g（x）=log

1

2

x，关于直线y=x对称，
记函数h（x）=

g(x)，f(x)≤g(x) f(x)，f(x)＞g(x)

，
∴可知h（x）关于直线y=x对称．
∵y=x与y=5-x，交点为A（2.5，2.5）
∴y=5-x，与函数h（x）交点关于A对称，
x₁+x₂=2×

5

2

=5
∴函数F（x）=h（x）+x-5，的零点．
设h（x）与y=5-x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x-5零点问题．

故函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为5．
故答案为：5．

点评：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，