Question

9．如图所示，正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，F为棱AE的中点．
（1）求证：直线AB⊥平面CDF；
（2）若异面直线BE与AD所成角为45⁰，求二面角B-CF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点M，连接MF，MC，可得四边形MFDC为平行四边形，MC∥FD；
由CM⊥AB，得DF⊥AB；又CD⊥AB，CD∩DF=D，即可得AB⊥平面CDF．
（2）异面直线BE，AD所成角即直线DA，DC所成角，可得AC=CD=2，
以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图2所示，
则$B（0，\;\;0，\;\;0），\;\;E（4，\;\;0，\;\;0），\;\;A（0，\;\;1，\;\;\sqrt{3}），\;\;C（0，\;\;2，\;\;0），\;\;F（{2，\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，$\overrightarrow{BF}=（{2，\;\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\;\;\overrightarrow{BC}=（0，\;\;2，\;\;0）$，利用向量法求解

解答 解：（1）证明：取AB中点M，连接MF，MC，因为M为AB中点，
所以MF平行且等于$\frac{1}{2}BE$，
又CD平行且等于$\frac{1}{2}BE$，所以MF平行且等于CD，
所以四边形MFDC为平行四边形，所以MC∥FD；
因为△ABC为正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB，从而DF⊥AB；
又平面ABC⊥平面BCDE，CD⊥BC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD⊥AB，CD∩DF=D，∴AB⊥平面CDF．
（2）解：异面直线BE，AD所成角即直线DA，DC所成角，则∠ADC=45°，
又∠ACD=90°，则AC=CD=2，
以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图2所示，
则$B（0，\;\;0，\;\;0），\;\;E（4，\;\;0，\;\;0），\;\;A（0，\;\;1，\;\;\sqrt{3}），\;\;C（0，\;\;2，\;\;0），\;\;F（{2，\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，$\overrightarrow{BF}=（{2，\;\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\;\;\overrightarrow{BC}=（0，\;\;2，\;\;0）$，
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0，\;\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x+\frac{1}{2}y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0，\;\;\\ 2y=0，\;\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}z，\;\;\\ y=0，\;\;\end{array}\right.$
令z=-4，得$\vec n=（\sqrt{3}，\;\;0，\;\;-4）$，
由（1）可知AB⊥平面CDF，
所以$\overrightarrow{AB}=（0，\;\;-1，\;\;-\sqrt{3}）$为平面CDF的一个法向量．cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}×2}$=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$
∵二面角B-CF-D为钝角，所以二面角B-CF-D的余弦值为$-\frac{{2\sqrt{57}}}{19}$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题．