Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦点为F，上顶点为A，点P是该椭圆上的动点，当△PAF的周长最大时，△PAF的面积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用椭圆定义转化可得使△PAF的周长最大时的P的位置，求出其纵坐标，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得a²=2，b²=1，
则c²=a²-b²=1．
∴F（1，0），而A（0，1），
如图：

设F′是左焦点，
则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=3a+|AP|-|PF′|
≤$3\sqrt{2}$+|AF′|（A，P，F′三点共线时，且P在AF′的延长线上，取等号），
直线AF′的方程为y=x+1，与椭圆方程联立可得${y}_{P}=-\frac{1}{3}$．
∴当△PAF的周长最大时，△PAF的面积为$\frac{1}{2}×2×（1+\frac{1}{3}）=\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义，以及三点共线时取得最值，同时考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键，是中档题．