Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是圆O：x²+y²=1与x轴正半轴的交点，半径OA在x轴的上方，现将半径OA绕原点O逆时针旋转$\frac{π}{3}$得到半径OB．设∠POA=x（0＜x＜π），$f（x）=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OP}$．
（1）若$x=\frac{π}{2}$，求点B的坐标；
（2）求函数f（x）的最小值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义求解即可．
（2）$f（x）=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OP}$，求出f（x）的解析式，化简，利用三角函数的性质求解即可．

解答 解：（1）由题意，因点P是圆O：x²+y²=1与x轴正半轴的交点，又$x=\frac{π}{2}$，
且半径OA绕原点O逆时针旋转$\frac{π}{3}$得到半径OB，
∴$∠POB=\frac{5π}{6}$．
由三角函数的定义，得$\frac{x_B}{1}=cos\frac{5π}{6}$，$\frac{y_B}{1}=sin\frac{5π}{6}$，
解得${x_B}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${y_B}=\frac{1}{2}$．
∴$B（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$．
（2）依题意，$\overrightarrow{OP}=（1，0）$，$\overrightarrow{OA}=（cosx，sinx）$，$\overrightarrow{OB}=（cos（x+\frac{π}{3}），sin（x+\frac{π}{3}））$，
由$f（x）=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OP}$，
∴$f（x）=cos（x+\frac{π}{3}）+cosx=\frac{3}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx$，
∴$f（x）=\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx）=-\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）$，
∵0＜x＜π，
则$-\frac{π}{3}＜x-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴当$x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，即$x=\frac{5π}{6}$，
函数f（x）取最小值为$-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的定义和性质的运用．属于基础题．