Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分别是A₁B，AC₁的中点．
（1）求证：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（2）若A₁A=2AB=2BC=4，求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结A₁F，则F为A₁C的中点，于是EF∥BC，通过证明BC⊥平面ABB₁A₁得出EF⊥平面ABB₁A₁，故而平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（2）F到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}$AA₁=2，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 （1）证明：连结A₁F，则F为A₁C的中点，
又E是A₁B的中点，
∴EF∥BC，
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴EF⊥平面ABB₁A₁，
又EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵F是A₁C的中点，
∴F到平面ABC的距离d=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
∴V_F-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．