Question

4．已知函数$f（x）=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1（a＞0）$
（1）设a＞1，试讨论f（x）单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当$a=\frac{1}{4}$时，任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性得到f（x₁）≥f（1）=-$\frac{1}{2}$，问题转化为存在x₂∈[1，2]，使得$g（{x_2}）≤-\frac{1}{2}$，分离参数即得到$2b≥x+\frac{9}{2x}$在x∈[1，2]时有解，求出b的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}$=$\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{（-x+1）（ax+（a-1））}{x^2}$，
令f'（x）=0，则x₁=1，${x_2}=\frac{1-a}{a}$（a＞1，x₂＜0）舍去．
令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1，
所以当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减；
（2）当$a=\frac{1}{4}$时，
由（1）可知f'（x）=0的两根分别为x₁=1，${x_2}=\frac{1-a}{a}=3$
令f'（x）＞0，则0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，则1＜x＜3
可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
所以对任意的x₁∈（0，2），有$f（{x_1}）≥f（1）=ln1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$，
由条件知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以$g（{x_2}）≤-\frac{1}{2}$即存在x₂∈[1，2]，使得$g（{x_2}）≤-\frac{1}{2}$，
分离参数即得到$2b≥x+\frac{9}{2x}$在x∈[1，2]时有解，
由于$t=x+\frac{9}{2x}$（x∈[1，2]）为减函数，故其最小值为$\frac{17}{4}$，
从而$2b≥\frac{17}{4}$$b≥\frac{17}{8}$，所以实数b的取值范围是$[\frac{17}{8}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．