Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的a₂，a₃，a₁₄恰好构成一个等比数列，前7项和为S₇=49，且对于任意的正整数n，都有b₁+2b₂+…+2n-1 b_n=na_n
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）记{b_n}的前n项和为T_n，求满足T_n＞9的n的集合．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

(a1+2d)2=(a1+d)(a1+13d) 7a1+ 7×6 2 d=49 d≠0

，从而求出a_n=

10n

3

-

19

3

．由b₁+2b₂+…+2n-1 b_n=na_n=

10n2-19n

3

，得b₁+2b₂+…+2^n-2b_n-1=

10(n-1)2-19(n-1)

3

，由此能求出b_n=

20n-29

3•2n-1

．
（2）由b_n=

20n-29

3•2n-1

，利用错位相减法求出T_n=

22

3

-

20n+11

3×2n-1

＜

22

3

，由此能求出满足T_n＞9的n的集合．

解答： 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}的a₂，a₃，a₁₄恰好构成一个等比数列，前7项和为S₇=49，
∴

(a1+2d)2=(a1+d)(a1+13d) 7a1+ 7×6 2 d=49 d≠0

，解得a₁=-3，d=

10

3

，
∴a_n=-3+（n-1）×

10

3

=

10n

3

-

19

3

．
∵b₁+2b₂+…+2n-1 b_n=na_n=

10n2-19n

3

，
∴b₁+2b₂+…+2^n-2b_n-1=

10(n-1)2-19(n-1)

3

，
∴2^n-1b_n=

10n2-19n

3

-

10(n-1)2-19(n-1)

3

=

20n-29

3

，
∴b_n=

20n-29

3•2n-1

．
（2）∵b_n=

20n-29

3•2n-1

，
∴T_n=

-9

3

+

11

3×2

+

31

3×22

+…+

20n-29

3×2n-1

，①

1

2

Tn=

-9

3×2

+

11

3×22

+

31

3×23

+…+

20n-29

3×2n

，②
①-②，得：

1

2

Tn=-3+

20

3×2

+

20

3×22

+…+

20

3×2n-1

-

20n-29

3×2n

=-3+

20

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）-

20n-29

3×2n

=-3+

20

3

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

20n-29

3×2n

=

11

3

-

20

3•2n-1

-

20n-29

3×2n

，
∴T_n=

22

3

-

20n+11

3×2n-1

＜

22

3

，
∴满足T_n＞9的n的集合为∅．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足不等式的自然数的集合的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．