Question

⊙O与⊙D相交于A，B两点，BC是⊙D的切线，点C在⊙O上，且AB=BC．若△ABC的面积为S，则⊙D的半径的最小值是

 

．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：立体几何

分析：设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于E，设AC=2y，（0＜y≤a），即可求证△BD0∽△ABC，进而可求r的最小值．

解答： 解：设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于E，
则BE⊥AC，
设AC=2y，（0＜y≤a），OE=x，AB=1，
则a²=x²+y²，
S=y（a+x），
1²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=

2aS

y

，
∵∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
∴△BD0∽△ABC，
则

BD

AB

=

BO

AC

，即

r

l

=

a

2y

，
∴r²=

a2l2

4y2

=

a2

4y2

×

2aS

y

=

S

2

×(

a

y

)3≥

S

2

，
即r≥

2S

2

，
故r=

al

2y

，其中当a=y取等号，
这时AC是圆O的直径，故⊙D的半径的最小值是

2S

2

，
故答案为：

2S

2

．

点评：本题主要考查相似三角形的应用，考查几何关系的证明，考查基本不等式的应用，综合性较强．