Question

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC，∠ADc=60°（即：底面是一幅三角板拼成）
（1）若PA中点为E，求证：BE∥面PCD
（2）若PA=PB=PC=3，PD与面PAC成30°角，求此四棱锥的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AC，AD的中点分别为G，F，由已知条件推导出BF∥面PCD，EF∥面PCD，从而面BEF∥面PCD，由此能证明BE∥面PCD．
（2）由已知得PG⊥面ABCD，CD⊥面PAC，从而∠CPD=30°，进而S△BCD=

9

4

+

3 3

2

，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （1）证明：设AC，AD的中点分别为G，F，
由已知得B，G，F三点共线，
∴BF∥CD，∵DC?平面PCD，BF?平面PCD，∴BF∥面PCD，
EF∥PD，∵PD?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥面PCD，
又BF∩EF=F，∴面BEF∥面PCD，
∵BE?平面BEF，∴BE∥面PCD．（6分）
（2）解：∵PA=PB=PC，∴PG⊥面ABCD，
则有PG⊥CD，
又AC⊥CD，PG∩AC=G，∴CD⊥面PAC，
∴PC是PD在面PAC内的射影，
∵PD与面PAC成30°角，∴∠CPD=30°，（10分）
∵PA=PB=PC=3，∴CD=

3

，PG=

3 3

2

，AB=BC=

3 2

2

，
∴S△BCD=

9

4

+

3 3

2

，
∴V=

1

3

•(

9

4

+

3 3

2

)•

3 3

2

=

9

8

(2+

3

)．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．