Question

已知f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同时满足条件：
①?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对m讨论，分m=0，m＜0，m＞0，分别考虑两个条件是否成立，显然m≤0不成立，m＞0时，考虑二次函数的判别式小于0，再对x＜-4，讨论二次函数的单调性，求得f（-4）＞0恒成立，即可得到m的范围．

解答： 解：当m=0时，f（x）=1-8x，g（x）=0，则不满足条件①②；
当m＜0时，g（x）＞0不恒成立，则①知，必须f（x）＞0恒成立，但f（x）的图象开口向下，故不成立；
当m＞0时，要满足①，则必须f（x）＞0恒成立，即有判别式4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8，
当x＜-4时，g（x）＜0，由于f（x）的对称轴为x=

4-m

2m

=

2

m

-

1

2

＞-

1

2

，则（-∞，-4）为减区间，
f（-4）=2m•16+8（4-m）+1=33+24m＞0，即有②成立．
综上可得，2＜m＜8．
故答案为：（2，8）．

点评：本题考查二次函数的性质，考查二次不等式恒成立问题转化为二次函数的值域问题，注意结合图象和判别式，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．