Question

某商品最近30天的价格f（t）（元）与时间t满足关系式：f（t）=

1 3 t+8，(0≤t＜15，t∈N+) - 1 3 t+18，(15≤t＜30，t∈N+)

，且知销售量g（t）与时间t满足关系式 g（t）=-t+30，（0≤t≤30，t∈N⁺），求该商品的日销售额的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：设W（t）表示商品的日销售额（单位：元）与时间t的函数关系，则有：W（t）=f（t）g（t），对每段化简和配方，根据二次函数的性质，分别求解每段函数的最大值，由此能求出商品的日销售额W（t）的最大值．

解答： 解：设W（t）表示商品的日销售额（单位：元）与时间t的函数关系，
则有：W（t）=f（t）g（t）
=

(8+ 1 3 t)(30-t)，0≤t＜15，t∈N+ (18- 1 3 t)(30-t)，15≤t≤30，t∈N+

=

- 1 3 t2+2t+240，0≤t＜15，t∈N+ 1 3 t2-28t+540，15≤t≤30，t∈N+

=

- 1 3 (t-3)2+243，0≤t＜15，t∈N+ 1 3 (t-42)2-48，15≤t≤30，t∈N+

，
当0≤t＜15，t∈N⁺时，易得t=3时，W（t）取最大，且为W（3）=243；
当15≤t≤30，t∈N⁺时，[15，30]为减函数，则t=15时，W（t）取最大，且为W（15）=195．
所以当t=3时，该商品的日销售额最大，且为243．

点评：本题考查分段函数在生产实际中的应用，考查二次函数的最值问题和运算求解能力，属于中档题．