Question

已知圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，圆锥顶点为P，底面圆周上有一点A，由A点出发绕圆锥侧面一周．
（1）回到A点的最短距离为多少？
（2）到达AP中点的最短距离为多少？

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦长的问题．
（2）AP中点的最短距离即OH．

解答： 解：（1）圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，
再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，
转化为求弦长的问题
如图所示，设展开的扇形的圆心角为α
∵圆锥底面半径r=1cm，母线长是OA=3cm，
∴根据弧长公式得到2π×1=α×3，
∴α=

2

3

，即扇形的圆心角是

2

3

，
∴∠AOH=60°
∴动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程为弧所对的弦长：
AA′=2AH=2×OAsin∠AOH=2×3×

3

2

=3

3

．
（2）AP中点的最短距离即OH
∴OH=OAcos60°=

3

2

．

点评：本题考查最短距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．