Question

已知函数f（x）=4lnx-

1

2

x²．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）依题意，可求得f（1）与f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间，从而可得极值．

解答： 解：（I）由题意函数的定义域为（0，+∞），且f(1)=-

1

2

，f′(x)=

4

x

-x，f′（1）=3
所以函数在点（1，f（1））处的切线方程为y-(-

1

2

)=3(x-1)，即y=3x-

7

2

 II）令f′（x）=0得x₁=2，x₂=-2（舍）
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值	负

综上所述：函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞），
函数f（x）的极大值为f（2）=4ln2-2，无极小值．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．