Question

已知F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为

2

2

，点A（-

2

2

，

3

2

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，且直线l是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 1 2a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件推导出直线MN过定点（2，0）．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
且离心率为

2

2

，点A（-

2

2

，

3

2

）在椭圆C上．
∴

e= c a = 2 2 1 2a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（6分）
（2）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，
消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
设M（x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，…（8分）
又k_F2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，
由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，
得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0
整理得m=-2k．…（10分）
直线MN的方程为y=k（x-2），
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，倾斜解互补的性质的合理运用．