题目内容

设椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上，若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程．
考点：椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由于椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上，椭圆E的焦距为1．可得a2-(1-a2)=(
1
2
)2，a2＞1-a2＞0，解出即可．
解答： 解：∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上，椭圆E的焦距为1．
∴a2-(1-a2)=(
1
2
)2，a2＞1-a2＞0，
解得a2=
5
8
．
∴椭圆E的方程为
8x2
5
+
8y2
3
=1．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2
3
．点P在椭圆C上，且满足△PF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点（-1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得
MA
•
MB
恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（
4
3
，
1
3
）．求椭圆C的方程及离心率．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），求x0的取值范围．
一个正六棱锥的底面边长为6，体积为48，求其侧面积．
已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为
3
2
2
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知A，B是抛物线C上的两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为M，设线段AB的中点为N，证明：存在λ∈R，使得
MN
=λ
OF
；
（3）在（2）的条件下，若抛物线C的切线BM与y轴交于点R，直线AB两点的连线过点F，试求△ABR面积的最小值．
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
64π
3
立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
（Ⅰ）将y表示成r的函数f（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数f（r）的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
（参考公式：球的表面积公式S=4πr2，球的体积公式V=
4
3
πr3，圆柱体的侧面积公式S=2πrl，圆柱体的体积公式V=πr2l）
在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其离心率为
1
2
，通径长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，过点F1的直线与椭圆交于A、B两点，I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，延长BF2与椭圆交于点M，求四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值；
（3）在x轴上是否存在定点P，使得
PM
•
PB
为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=4lnx-
1
2
x2．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

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