Question

数列{a_n}定义如下：a₁=1，且当n≥2时，a_n=

a n 2 +1，n为偶数 1 an-1 ，n为奇数

，若a_n=

19

11

，则正整数n=（　　）

• A、112
• B、114
• C、116
• D、118

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件分别求出数列的第112项、114项、116项和118项，由此能求出结果．

解答： 解：∵a₁=1，且当n≥2时，a_n=

a n 2 +1，n为偶数 1 an-1 ，n为奇数

，
a₂=1+1=2，a3=

1

a2

=

1

2

，a7=

1

a6

=

1

a3+1

=

2

3

，
∴a₁₁₂=a₅₆+1=a₂₈+2=a₁₄+3=a₇+4=

2

3

+4=

14

3

，
a₁₁₄=a₅₇+1=

1

a56

+1=

1

a28+1

+1=

1

a14+2

+1=

1

a7+3

+1=

20

11

，
a₁₁₆=a₅₈+1=a₂₉+2=

1

a28

+2=

1

a14+1

+2=

1

a7+2

+2=

19

8

，
a₁₁₈=a₅₉+1=

1

a58

+1=

1

a29+1

+1=

1

1 a28 +1

+1=

1

1 a14+1 +1

+1
=

1

1 a7+2 +1

+1=

8

11

+1=

19

11

．
∵a_n=

19

11

，∴正整数n=118．
故选：D．

点评：本题考查数列的项数的求法，是中档题，解题时要注意递推公式的合理运用．