Question

我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆b²x²+a²y²=a²b²的一弦（非过原点的弦）的中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点作差，利用中点坐标公式，即可得出结论．

解答： 解：设弦的两个端点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设弦AB的中点为M（x₀，y₀），这样2x₀=x₁+x₂和2y₀=y₁+y₂，
所以b²x₁²+a²y₁²=a²b² ①，b²x₂²+a²y₂²=a²b² ②，
作差，整理可得2b²x₀+2a²y₀ •k_AB =0，
所以k_OM k_AB =-

b2

a2

，得证．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．