题目内容
17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+a+1，x＜2}\\{x+{a}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]．分析 根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．
解答 
解：当x≥2时，f（x）=x+a2≥2+a2，
当x＜2时，f（x）=-x2+2x+a+1=-（x-1）2+a+2≤a+2，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+a+1，x＜2}\\{x+{a}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$的值域为R，
∴2+a2≤a+2，
即a2-a≤0，
解得0≤a≤1，
故答案为：[0，1]
点评 本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的关系建立不等式关系是解决本题的关键．
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