Question

7．已知sinα=4sin（α+β），α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求证：tan（α+β）=$\frac{sinβ}{cosβ-4}$．

Answer 1

分析 由已知得sin（α+β-β）=4sin（α+β），由此利用正弦函数加法定理和同角三角函数关系式能证明ttan（α+β）=$\frac{sinβ}{cosβ-4}$．

解答 证明：∵sinα=4sin（α+β），α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴sin（α+β-β）=4sin（α+β），
∴sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=4sin（α+β），
∴$\frac{sin（α+β）}{cosβ-4}$=cos（α+β）sinβ，
∴tan（α+β）=$\frac{sinβ}{cosβ-4}$．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．