Question

2．设函数f（x）=log₄（4^x+1）+ax（a∈R）．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+f（-x）≤2log₄m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（-x）恒成立，运用对数的运算性质，化简进而可得a值；
（2）若不等式f（x）+f（-x）≤2log₄m对任意x∈[0，2]恒成立，化简即有4^x+1≤m2^x对任意的x∈[0，2]恒成立，令$t={2^{^x}}$，则t∈[1，4]，可得t²-mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函数的性质，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）对任意x∈R恒成立，
∴${log_4}（{4^x}+1）+ax={log_4}（{4^{-x}}+1）-ax$，
∴$2ax={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{4^x}-{log_4}（{4^x}+1）=x$，
∴$a=-\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）+f（-x）≤2log₄m，
∴$2{log_4}（{4^x}+1）≤x+2{log_4}m$，
∴${log_2}（{4^x}+1）≤{log_2}m•{2^x}$对任意的x∈[0，2]恒成立，
即4^x+1≤m2^x对任意的x∈[0，2]恒成立，
令$t={2^{^x}}$，则t∈[1，4]，
∴t²-mt+1≤0在[1，4]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}2-m≤0\\ 17-4m≤0\end{array}\right.$，∴$m≥\frac{17}{4}$．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，恒成立问题，注意运用定义法和换元法，同时考查指数函数和对数函数的性质及运用，难度中档．