Question

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若h（x）=2x²+3x-1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（2）利用“基函数f（x）=xe^x+x²，g（x）=x²”生成一个函数h（x），使之满足下列条件：
①m+n=0；②有最小值-

1

e

，试探究是否存在实数a，使得对任意的x₁，x₂∈（a，+∞），当x₁＜x₂时恒有

h(x2)-h(a)

x2-a

＞

h(x1)-h(a)

x1-a

成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b），展开后整理，由系数相等把a，b用n表示，然后结合n的范围求得a+2b的取值范围；
（2）设h（x）=mxe^x+mx²-mx²=mxe^x，由题意求出满足条件的m值，得到函数解析式，把对任意的x₁，x₂∈（a，+∞），当x₁＜x₂时恒有

h(x2)-h(a)

x2-a

＞

h(x1)-h(a)

x1-a

成立转化为函数h（x）的导函数在（a，+∞）上的导函数为增函数求解．

解答： 解：（1）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

，得

a= 3-n 2 b=- 1 n

．
∴a+2b=

3-n

2

-

2

n

=

3

2

-

n

2

-

2

n

．
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(-∞，-

1

2

)∪(

7

2

，+∞)；
（2）设h（x）=mxe^x+mx²-mx²=mxe^x，
h′（x）=me^x+mxe^x=m（x+1）e^x，
函数h（x）有最小值-

1

e

，即当x=-1时函数h（x）有最小值为-me^-1=-

1

e

，即m=1．
∴h（x）=xe^x．
若存在实数a，使得对任意的x₁，x₂∈（a，+∞），当x₁＜x₂时恒有

h(x2)-h(a)

x2-a

＞

h(x1)-h(a)

x1-a

成立，
说明函数h（x）=xe^x在（a，+∞）上的导函数为增函数，
由h（x）=xe^x，得h′（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
令t（x）=（x+1）e^x，
则t′（x）=（x+2）e^x，由（x+2）e^x＞0，得x＞-2．
∴满足条件的a的取值范围是（-2，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，关键是对题意的理解与合理转化，是压轴题．