Question

已知函数f（x）=

3

sin4x-cos4x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）求f（x）的最大值以及取最大值时相应的x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换求出函数的形式为正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．
（2）利用（1）的结论进一步求出函数的最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sin4x-cos4x=2sin（4x-

π

6

）
所以：T=

2π

4

=

π

2

令：-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

π

6

所以：单调递增区间为：[-

π

12

+

kπ

2

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）
令：

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
解得：

π

6

+

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

5π

12

所以函数的单调递减区间为：[

π

6

+

kπ

2

，

kπ

2

+

5π

12

]（k∈Z）
（2）函数函数f（x）=2sin（4x-

π

6

）
所以当4x-

π

6

=2kπ+

π

2

时，
即当x满足：{x|x=

π

6

+

kπ

2

（k∈Z）}时，f（x）_max=2

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期，正弦型函数的单调区间的确定，及函数的最值．属于基础题型．