Question

已知函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），则下列结论中不正确的是（　　）

• A、对任意x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
• B、函数f（x）的值域为（-1，1）
• C、对任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
• D、方程f（x）-x=0则R上有三个根

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由函数的奇偶性定义判断A；先求出x≥0时的值域，再由奇偶性求出函数的值域判断B；由函数的单调性判断C；求解方程f（x）-x=0的根判断D．

解答： 解：函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
对任意x∈R，等式f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=

-x+x

1+|x|

=0，A正确；
当x=0时，f（0）=0．当x＞0时，0＜f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=

1

1 x +1

＜1，
又函数为奇函数，∴值域为（-1，1），B正确；
当x＞0时f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=

1

1 x +1

为增函数，
∴函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）为增函数，
则对任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），C正确；
当x＞0时，f（x）-x=

x

1+|x|

-x=

x

1+x

-x=0，即

-x2

2

=0，x无解，
∴方程f（x）-x=0在R上有一个实根，D错误．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，是基础题．