题目内容

已知椭圆
y2
25
+
x2
16
=1，经过焦点F1做一直线交椭圆于A、B两点，求l的斜率k=-1时，求弦长．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出椭圆的焦点F1（0，3），根据点斜率式方程设AB：y-3=-（x-0），与椭圆方程消去y得
y2
25
+
x2
16
=1，利用根与系数的关系算出A、B的横坐标满足|x1-x2|，最后根据弦长公式即可算出弦AB的长．
解答： 解：∵椭圆方程为
y2
25
+
x2
16
=1，
∴焦点分别为F1（0，3），F2（0，-3），
∵直线AB过焦点F1直线的斜率为-1．
∴直线AB的方程为y-3=-（x-0），即y=3-x
将AB方程与椭圆方程消去y，得41x2-96x-256=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得
x1+x2=
96
41
，x1x2=-
256
41
．
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
160
2
41

因此，|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
1+(-1)2
•
160
2
41
=
320
41
．
故答案为：2
点评：本题给出椭圆方程，求解经过焦点且斜率为-1，直线的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=4sinxcos（x+
π
3
）+
3

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-
π
4
，
π
6
]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．
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-2x+1
2x+1+a
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①m+n=0；②有最小值-
1
e
，试探究是否存在实数a，使得对任意的x1，x2∈（a，+∞），当x1＜x2时恒有
h(x2)-h(a)
x2-a
＞
h(x1)-h(a)
x1-a
成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+
3
（2cos2x-1），x∈R．
（Ⅰ）若对任意x恒有f（-
π
6
）≤f（ωx+φ）≤f（
π
3
），（ω＞0，|φ|＜
π
2
），求ω的最小值和对应的φ的值．
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A
2
）=1，又b，a，4c成等比数列，求
sinB
sinC
的值．
已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），则a的取值范围为（　　）
A、[2-
2
，2+
2
]
B、（-∞，ln2]
C、（2-
2
，2+
2
）
D、（ln2，+∞）
函数f（x）=
x+c(x≥0)
x-1(x＜0)
是增函数，则实数c的取值范围是（　　）
A、[-1，+∞）
B、（-1，+∞）
C、（-∞，-1）
D、（-∞，-1]

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